Análisis matemático utilizando Geogebra y Wiris.

Introducción

La estabilidad de los cuerpos es un tema estudiado en la física, más exactamente en la mecánica de los cuerpos. En el proceso de hallar el centro de gravedad de un cuerpo, el cálculo juega un papel trascendental (calculo diferencial e integral), el modelamiento de funciones y los diversos métodos de optimización en algunos casos de cuerpos compuestos. El concepto de centroide de una superficie puede resolver otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. Por ejemplo, considérese una viga que soporta una carga distribuida; esta carga puede estar constituida por el peso de los materiales soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasiona-da por el viento o por una presión hidrostática. En este sentido, una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide de dicha área. Considere el siguiente caso hipotético (el cual puede ser extrapolado a situaciones más cercanas a la realidad). El auto de Miguel no tiene portavasos, de manera que debe colocar su vaso con agua en el asiento del pasajero a su lado cuando sale por la mañana. La amarga experiencia le ha enseñado que su vaso está menos estable – y más propenso a derramarse- cuando está completamente lleno, pero se vuelve más estable conforme bebe el agua y con ello baja el nivel del líquido. Ahora está listo para aplicar cálculo al análisis de este fenómeno. La figura a continuación, muestra un vaso parcialmente lleno de agua. Un principio físico que usaremos en este caso es que el vaso (con agua en su interior) está más estable cuando el centroide del conjunto está en el punto más bajo posible. El modelo simplificado del vaso con agua esta representado en el siguiente esquema:

      1ER  EJEMPLO DE CÓMO ENCONTRAR EL CENTROIDE:

1) ESTABLECEMOS LOS EJES.

     



2) Como segundo paso dividimos la figura en áreas más simples de centroide conocidas y trabajamos con la más sencilla.

3) Luego vamos a buscar el eje “Y” centroidal, es decir el eje paralelo al eje “Y” de referencia, asumiendo que cada área es la carga y la distancia x de sus centroides su brazo.

       

     

4) Hacemos lo mismo para encontrar el eje centroidal “X” haciendo momento de las áreas respecto al eje “X” de referencia.

5) Ya tenemos el centroide de la figura y sus ejes centroidales. En ocasiones como esta, puede estar ubicado fuera de la figura.

 

2DO EJEMPLO DE CENTROIDE:

T1. DEFINAN LOS SIGUIENTES TÉRMINOS:

• Modelamiento matemático : Es aquel problema que emplea el uso de un formulismo matemático para poder desarrollar la solución de este.

• Punto crítico o estacionario : Es el punto de la curva donde la pendiente de la curva es igual a cero.

• Valores extremos de una función : Son los valores más grandes o pequeños, que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región particular de la curva o el dominio de la función en su totalidad.

• Máximo absoluto de una función : Se define como el valor de una función dada, que es mayor o igual que cualquier valor de la función dada.

• Mínimo absoluto de una función : Es el valor de una función dada, que es menor o igual que cualquier valor de la función dada.

• Optimización : Significa el mejorar el rendimiento de algo, en las matemáticas es parte del cálculo diferencial; son una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como costos, dimensión, producción, etc.

• Centroide : El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo.

Centroide de un triángulo, como intersección de las medianas del triángulo.

• Centro de gravedad : Punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que es siempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo.

• Densidad : Es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia; es la relación entre la masa de un cuerpo y un volumen que ocupa.

P=Está definido como densidad, m está definido como masa, y V como el volumen.

T2. Analice y responda el siguiente caso: Usando la ecuación y los valores para H,R,T y B del enunciado introductorio, modele la función f(y) que represente la altura del centroide (con respecto al nivel inferior de la base del vaso) del conjunto formado por el vaso con agua. La función que obtendrá será una función racional de la forma:                                                          T3. Analice y responda el siguiente caso: Una vez calculadas las constantes a,b,c y d (del T2) elabore una tabla en Excel que muestre los valores de y desde y=0 hasta y=0 (al menos 20 valores distanciados uniformemente). De la siguiente manera, realice dos gráficas de los pares ordenados obtenidos: La primera con el software Excel (usando una línea de tendencia polinómica). La segunda con el software Geogebra. y f(y) 0.35 2.495 0.70 2.444 1.05 2.404 1.40 2.375 1.75 2.356 2.10 2.345 2.45 2.344 2.80 2.350 3.15 2.364 3.50 2.385 3.85 2.412 4.20 2.445 4.55 2.484 4.90 2.529 5.25 2.578 5.60 2.632 5.95 2.691 6.30 2.754 6.65 2.822 7.00 2.892 En Excel:  En Geogebra:    T4. Usando el criterio de la primera derivada y comprobando su resultado con el criterio de la segunda derivada, calcule el valor de y (la altura del agua en el vaso) para que el conjunto (vaso y agua) sea lo más estable posible. El Valor De “Y” Pedido es Y = 2.3431CM.

Referencias electrónicas

1.    Math Dictionary, Máximos y Mínimos, Máximo Absoluto, Fuente electrónica [en línea], Español, http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/a/absolutemaximum.htm Revisado  23/062012

2.    Miembros de Optimización, Optimización,Fuente electrónica [en línea], Optimáticas, http://optimaticas.webs.com/optimizacin.htm Revisado 23/062012

3.    Prof Lauro Soto, Ensenada, Centroides, Tipos de centroides, Fuente electrónica [en línea],Main, http://www.mitecnologico.com/Main/Centroides Revisado 23/062012

4.    Herberth Antonio Gonzales Hernandez, Centroide, Definición, Fuente electrónica [en línea],Resistencia de materiales, http://jriver.forospanish.com/t238-centroide Revisado 23/062012

Alumno : Edinson Marvin Egoavil Samaniego

Universidad : Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Carrera : Ingeniería Industrial

Correo : Marvinegoavil@gmail.com